Question

已知橢圓C：

x2

9

+

y2

4

=1，過點(diǎn)M（2，0）且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)．在x軸上若存在定點(diǎn)P，使PM平分∠APB，則P的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)已知條件設(shè)出直線AB的方程x=ky+2，聯(lián)立橢圓的方程并消去x得到關(guān)于y的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求出y1+y2=

-16m

4m2+9

=①，y1y2=

-20

4m2+9

 ②．而根據(jù)直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，設(shè)P（a，0），結(jié)合①②兩式，從而可建立關(guān)于a的方程，解方程即得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=ky+2；
將直線AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去x得：（4m²+9）y²+16my-20=0；
∴y1+y2=

-16m

4m2+9

   ①，y1y2=

-20

4m2+9

    ②；
若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)，所以k_PA+k_PB=0；
設(shè)P（a，0），則有

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0；
將 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得

2my1y2+(2-a)(y1+y2)

(my1+2-a)(my2+2-a)

=0；
∴2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0；
將①②帶入上式并整理得：
（-2a+9）m=0；
由于上式對任意實(shí)數(shù)m都成立，所以a=

9

2

；
∴存在定點(diǎn)P（

9

2

，0），使PM平分∠APB．
故答案為：(

9

2

，0)．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，兩點(diǎn)確定直線的斜率，以及韋達(dá)定理．