Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=-7，S₈=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）數(shù)列{b_n}滿足b₁=$\frac{1}{16}$，b_nb_n+1=2^an，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由S₈=0得a₈=7，從而可得d=$\frac{a8-a1}{8-1}$=2，從而求得通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）由方程可得b_n+2=4b_n，從而求得{b_n}是以$\frac{1}{16}$為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從而求通項(xiàng)公式．

解答 解：（Ⅰ）由S₈=0得a₁+a₈=-7+a₈=0，
∴a₈=7，d=$\frac{a8-a1}{8-1}$=2，
所以{a_n}的前n項(xiàng)和：
S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d
=-7n+n（n-1）=n²-8n，
a_n=-7+2（n-1）=2n-9．
（Ⅱ）由題設(shè)得b_nb_n+1=2${\;}^{{a}_{n}}$，b_n+1b_n+2=2${\;}^{{a}_{n+1}}$，
兩式相除得b_n+2=4b_n，
又∵b₁b₂=2${\;}^{{a}_{1}}$=$\frac{1}{128}$，b₁=$\frac{1}{16}$，
∴b₂=$\frac{1}{8}$=2b₁，
∴b_n+1=2b_n，
即{b_n}是以$\frac{1}{16}$為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，
故b_n=2^n-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了方程思想的應(yīng)用，屬于中檔題．