Question

14．已知△ABC為銳角三角形，AB≠AC，以BC為直徑的圓分別交邊AB和AC于點(diǎn)M和N，記BC得中點(diǎn)為O，∠BAC的平分線和∠MON的平分線交于點(diǎn)R．證明：△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個(gè)交點(diǎn)在BC上．

Answer 1

分析 由已知得點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC內(nèi)，在射線AR上取一點(diǎn)R₁，使A、M、R₁、N四點(diǎn)共圓，由AB≠AC，得到∠MON的平分線與∠BAC的平分線有惟一交點(diǎn)R，從而得到R₁=R，即A、M、R、N四點(diǎn)共圓．設(shè)AR的延長線交BC于點(diǎn)K，則K在邊BC上，由已知條件推導(dǎo)出B、M、R、K四點(diǎn)共圓，C、N、R、K四點(diǎn)共圓．由此能證明△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個(gè)交點(diǎn)在BC上．

解答 證明：如圖，先證明A、M、R、N四點(diǎn)共圓，
∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC內(nèi)，
在射線AR上取一點(diǎn)R₁，使A、M、R₁、N四點(diǎn)共圓，
∵AR₁平分∠BAC，∴R₁M=R₁N，
∵OM=ON，R₁M=R₁N，∴R₁在∠MON的平分線上，
∵AB≠AC，∴∠MON的平分線與∠BAC的平分線不重合、不平行，有惟一交點(diǎn)R，
∴R₁=R，即A、M、R、N四點(diǎn)共圓．
其次，設(shè)AR的延長線交BC于點(diǎn)K，則K在邊BC上，
∵B、C、N、M四點(diǎn)共圓，∴∠MBC=∠ANM，
∵A、M、R、N四點(diǎn)共圓，∴∠MBK=∠MRA，
∴B、M、R、K四點(diǎn)共圓，
同理，C、N、R、K四點(diǎn)共圓．
故△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個(gè)交點(diǎn)在BC上．

點(diǎn)評 本題考查四點(diǎn)共圓的證明與應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．