Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長為6，點(diǎn)A為左頂點(diǎn)，B，C在橢圓E上，若四邊形OABC位平行四邊形，且∠OAB=30°．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（1，0）作傾斜角為135°的直線l，交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)F是橢圓的左焦點(diǎn)，求△FPQ的面積．

Answer 1

分析 （I）由四邊形OABC位平行四邊形，可得BC∥OA，由橢圓的對稱性可知：B，C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱．a(chǎn)=|OA|=|BC|=3，可設(shè)B$（-\frac{3}{2}，{y}_{0}）$（y₀＞0）．代入橢圓的方程可得y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．由于∠OAB=30°，可得$\frac{\sqrt{3}}{2}b$=$\frac{3}{2}tan3{0}^{°}$，解得b即可得出．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l的方程為y=1-x，與橢圓方程聯(lián)立化為5x²-9x=0，解得M，N坐標(biāo)，利用S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|y₁-y₂|即可得出．

解答 解：（I）∵四邊形OABC位平行四邊形，∴BC∥OA，
由橢圓的對稱性可知：B，C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，
∵a=|OA|=|BC|=3，可設(shè)B$（-\frac{3}{2}，{y}_{0}）$（y₀＞0）．
代入橢圓的方程可得：$\frac{9}{4×{3}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{^{2}}=1$，解得y₀=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．
∵∠OAB=30°，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}b$=$\frac{3}{2}tan3{0}^{°}$，解得b=1．
∴橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}$=1．
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l的方程為y=-（x-1）=1-x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1-x}\\{{x}^{2}+9{y}^{2}=9}\end{array}\right.$，化為5x²-9x=0，解得x₁=0，x₂=$\frac{9}{5}$．
代入直線l的方程可得：y₁=1，y₂=$-\frac{4}{5}$．
∴|y₁-y₂|=$\frac{9}{5}$，|FM|=$2\sqrt{2}$+1．
∴S_△FMN=$\frac{1}{2}$|FM|•|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{2}+1）×$$\frac{9}{5}$=$\frac{18\sqrt{2}+9}{10}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．