Question

4．設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F(xiàn)₂，右頂點為A，上頂點為B．已知|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．
（1）求橢圓的離心率；
（2）設(shè)P為橢圓上異于其頂點的一點，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點F₁，是否存在經(jīng)過原點的直線l與該圓相切，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的右焦點為F₂（c，0），由|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|F₁F₂|．可得$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{3}$c，再利用b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$即可得出；
（2）由（1）可得b²=c²．可設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}$=1，設(shè)P（x₀，y₀），由F₁（-c，0），B（0，c），可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，$\overrightarrow{{F}_{1}B}$．利用圓的性質(zhì)可得$\overrightarrow{{F}_{1}B}$⊥$\overrightarrow{{F}_{1}P}$，于是$\overrightarrow{{F}_{1}B}$•$\overrightarrow{{F}_{1}P}$=0，得到x₀+y₀+c=0，由于點P在橢圓上，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2{c}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{c}^{2}}$=1．聯(lián)立可得3x₀²+4cx₀=0，解得P（-$\frac{4}{3}$c，$\frac{1}{3}$c）．設(shè)圓心為T（x₁，y₁），利用中點坐標(biāo)公式可得T（-$\frac{2}{3}$c，$\frac{2}{3}$c），利用兩點間的距離公式可得圓的半徑r．設(shè)直線l的方程為：y=kx．利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的右焦點F₂的坐標(biāo)為（c，0）．
由$|{AB}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}|{{F_1}{F_2}}|$，可得a²+b²=3c²，又b²=a²-c²，則$\frac{c^2}{a^2}=\frac{1}{2}$．
所以，橢圓的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$.$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\sqrt{3}c$，
所以2a²-c²=3c²，解得$a=\sqrt{2}c$，$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（2）假設(shè)存在經(jīng)過原點的直線l與該圓相切，由（1）知a²=2c²，b²=c²．
故橢圓方程為$\frac{x^2}{{2{c^2}}}+\frac{y^2}{c^2}=1$．
設(shè)P（x₀，y₀）．由F₁（-c，0），B（0，c），
有$\overrightarrow{{F_1}P}=（{{x_0}+c，{y_0}}）$，$\overrightarrow{{F_1}B}=（{c，c}）$．由已知，有$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_1}B}=0$，
即（x₀+c）c+y₀c=0．又c≠0，故有x₀+y₀+c=0．①
又因為點P在橢圓上，故$\frac{{{x_0}^2}}{{2{c^2}}}+\frac{{{y_0}^2}}{c^2}=1$．②
由①和②可得$3{x_0}^2+4c{x_0}=0$．而點P不是橢圓的頂點，
故${x_0}=-\frac{4c}{3}$，代入①得${y_0}=\frac{c}{3}$，即點P的坐標(biāo)為$（{-\frac{4c}{3}，\frac{c}{3}}）$．
設(shè)圓的圓心為T（x₁，y₁），則${x_1}=\frac{{-\frac{4}{3}c+0}}{2}=-\frac{2}{3}c$，${y_1}=\frac{{\frac{c}{3}+c}}{2}=\frac{2}{3}c$，
進(jìn)而圓的半徑$r=\sqrt{{{（{{x_1}-0}）}^2}+{{（{{y_1}-c}）}^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}c$．
（�。┲本�l的斜率不存在時，l：x=0，此時$d=\frac{2}{3}c≠r$，不合題意；
（ⅱ）直線l的斜率不存在時，設(shè)l的斜率為k，依題意，直線l的方程為y=kx．
由l與圓相切，可得$\frac{{|{k{x_1}-{y_1}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=r$，即$\frac{{|{k（{-\frac{2c}{3}}）-\frac{2c}{3}}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{3}c$，
整理得k²-8k+1=0，解得$k=4±\sqrt{15}$，$l：y=（{4±\sqrt{15}}）x$．
綜上，存在符合條件的直線，方程為$l：y=（{4±\sqrt{15}}）x$．

點評 本題中考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓相切問題、點到直線的距離公式、中點坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．