Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x、y滿足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy且f（0）=0，
f（

π

2

）=1．給出下列結(jié)論：①f（

π

4

）=

1

2

  ②f（x）為奇函數(shù)  ③f（x）為周期函數(shù) ④f（x）在（0，π）內(nèi)單調(diào)遞增，其中正確的結(jié)論序號是

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：令x=y=

π

4

，即可求出f（

π

4

）=

2

2

，即可判斷①；
取x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy，由f（0）=0，即可判斷②；
取y=

π

2

，得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，將x換成x+

π

2

，x+π，即可得到函數(shù)的周期，即可判斷③；
令x=y=

3π

4

，即可求出f（

3π

4

）=f（

π

4

），即可判斷④．

解答： 解：在f（x+y）+f（x-y）=2f（x）cosy中，
令x=y=

π

4

，則f（

π

2

）+f（0）=2f（

π

4

）cos

π

4

，即1+0=

2

f（

π

4

），則f（

π

4

）=

2

2

，故①錯；
取x=0，得f（y）+f（-y）=2f（0）cosy，
又已知f（0）=0，所以f（y）+f（-y）=0，即f（-y）=-f（y），f（x）為奇函數(shù)．故②對；
取y=

π

2

，得f（x+

π

2

）+f（x-

π

2

）=0，于是有f（x+π）+f（x）=0，所以f（x+2π）=-f（x+π）=f（x），
所以f（x）是周期函數(shù)．故③對；
由于f（0）=0，f（

π

2

）=1，f（

π

4

）=

2

2

，則f（

3π

2

）=f（-

π

2

）=-f（

π

2

）=-1，
令x=y=

3π

4

，則f（

3π

2

）+f（0）=2f（

3π

4

）cos

3π

4

，則-1=-

2

f（

3π

4

），即有f（

3π

4

）=

2

2

．
即f（x）在（0，π）內(nèi)無單調(diào)性，故④錯．
故答案為：②③

點評：本題考查抽象函數(shù)的運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時考查函數(shù)的奇偶性和周期性、單調(diào)性，注意定義的運用．