Question

8．已知數(shù)列{a_n}，觀察程序框圖，若k=5，k=10時，分別有S=25，S=100．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）令${b_n}=n{2^{a_n}}$，求{b_n}的前n項和T_n的值．

Answer 1

分析 （1）由框圖可知{a_n}為等差數(shù)列，設其公差為d，S_n為{a_n}前n項和，${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+10d=25\\ 10{a_1}+45d=100\end{array}\right.$，解得a₁，d，即可得通項．
（2）根據(jù)（1）的結論，得到${b_n}=n{2^{2n-1}}$，可求等邊數(shù)列前n項和T_n的值．

解答 解：（1）由框圖可知{a_n}為等差數(shù)列，設其公差為d，S_n為{a_n}前n項和，${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）d}{2}$，
由題意得當k=5，k=10時，分別有S=25，S=100，…（3分）
所以$\left\{\begin{array}{l}5{a_1}+10d=25\\ 10{a_1}+45d=100\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
所以a_n=a₁+（n-1）d=2n-1…（6分）
（2）由（1）可得：b_n=n2^2n-1，…（7分），
T_n=1×2+2×2³+3×2⁵+…n×2^2n-1…（1），
4T_n=1×2³+2×2⁵+…3×2^2n-1+n×2^2n-1…（2）…（8分）
（1）-（2）得：
-3T_n=2¹+2³+2⁵+…+2^2n-1-n×2²ⁿ⁺¹
$\begin{array}{l}{\;}=\end{array}\frac{{2（1-{4^n}）}}{1-4}-n{2^{2n+1}}$
$\begin{array}{l}{\;}=\end{array}\frac{2}{3}（{4^n}-1）-2n{4^n}$．
∴${T_n}=\frac{{2（3n-1）{4^n}+2}}{9}$．

點評 本題考查程序框圖，數(shù)列的概念及簡單表示方法，數(shù)列的求和，通過對知識的熟練把握，分別進行求值，屬于中檔題．