Question

20．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（1，0），拋物線E：x²=2py的焦點為M．
（1）若過點M的直線l與拋物線C有且只有一個交點，求直線l的方程；
（2）若直線MF與拋物線C交于A、B兩點，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）求出p=2，M（0，1），分類討論，直線與拋物線方程聯(lián)立，即可求直線l的方程；
（2）直線MF與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，根據(jù)△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|，求△OAB的面積．

解答 解：（1）∵拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F（1，0），拋物線E：x²=2py的焦點為M，
∴p=2，M（0，1）
斜率不存在時，x=0，滿足題意；
斜率存在時，設(shè)方程為y=kx+1，代入y²=4x，可得k²x²+（2k-4）x+1=0，
k=0時，x=$\frac{1}{4}$，滿足題意，方程為y=1；
k≠0時，△=（2k-4）²-4k²=0，∴k=1，方程為y=x+1，
綜上，直線l的方程為x=0或y=1或y=x+1；
（2）直線MF的方程為y=-x+1，代入y²=4x，可得y²+4y-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-4，y₁y₂=-4，
∴△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{16+16}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查直線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．