Question

2．已知函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，當x∈（0，+∞）時，f（x）=log₂x，（1）求f（x）的解析式； （2）當f（x）＞0時．求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）可設(shè)x＜0，-x＞0，帶入x∈（0，+∞）上的解析式便可得出f（-x）=log₂（-x）=-f（x），從而得出$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{x＞0}\\{-lo{g}_{2}（-x）}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）分x＞0和x＜0，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式f（x）＞0，所得解求并集即可得出x的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)x＜0，-x＞0；
∴f（-x）=log₂（-x）=-f（x）；
∴f（x）=-log₂（-x）；
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x}&{x＞0}\\{-lo{g}_{2}（-x）}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）①x＞0時，由f（x）＞0得，log₂x＞0；
∴x＞1；
②x＜0時，由f（x）＞0得，-log₂（-x）＞0；
∴l(xiāng)og₂（-x）＜0；
∴0＜-x＜1；
∴-1＜x＜0；
∴x的取值范圍為（-1，0）∪（1，+∞）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)已知一曲間上的解析式，求對稱區(qū)間上的解析式的方法，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．