Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=a₂=1，且a_n²+a_n-1a_n+1=4a_n-1a_n（n∈N^*，n≥2）．
（I）令b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （I）通過計(jì)算出數(shù)列{a_n}前幾項(xiàng)的值，猜想通項(xiàng)公式，進(jìn)而利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；
（Ⅱ）通過（I）可知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而分類討論即得結(jié)論．

解答 解：（I）∵a₁=a₂=1，且a_n²+a_n-1a_n+1=4a_n-1a_n（n∈N^*，n≥2），
∴a₃=4-1=3，a₄=12-9=3，a₅=$\frac{36-9}{3}$=9，a₆=$\frac{12×9-{9}^{2}}{3}$=9，
猜想：a_2n-1=a_2n=3^n-1．
下面用數(shù)學(xué)歸納法來證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，顯然命題成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)，a_2k-1=a_2k=3^k-1，
則a_2k+1=$\frac{4{a}_{2k-1}{a}_{2k}-{{a}_{2k}}^{2}}{{a}_{2k-1}}$=$\frac{4•{3}^{k-1}•{3}^{k-1}-{3}^{k-1}•{3}^{k-1}}{{3}^{k-1}}$=3^k，
a_2k+2=$\frac{4{a}_{2k}{a}_{2k+1}-{{a}_{2k+1}}^{2}}{{a}_{2k}}$=$\frac{4•{3}^{k-1}•{3}^{k}-{3}^{k}•{3}^{k}}{{3}^{k-1}}$=3^k，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立；
由①②可知，a_2n-1=a_2n=3^n-1．
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n為奇數(shù)}\\{3，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（I）可知，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n-1}{2}}，}&{n為奇數(shù)}\\{{3}^{\frac{n-2}{2}}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=2•$\frac{1-{3}^{\frac{n}{2}}}{1-3}$=${3}^{\frac{n}{2}}$-1；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=S_n+1-a_n+1=2•$\frac{1-{3}^{\frac{n+1}{2}}}{1-3}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$=${3}^{\frac{n+1}{2}}$-${3}^{\frac{n-1}{2}}$-1；
綜上所述，S_n=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{\frac{n+1}{2}}-{3}^{\frac{n-1}{2}}-1，}&{n為奇數(shù)}\\{{3}^{\frac{n}{2}}-1，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查數(shù)學(xué)歸納法，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于難題．