Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為x²+y²-8x+15=0．
（1）求直線y=$\frac{1}{3}$x-2被圓截得的弦長；
（2）若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出圓C的半徑和圓心到直線的距離，利用垂徑定理求出弦長；
（2）由條件可知圓心到直線的距離d≤2，列出不等式解出k的范圍．

解答 解：（1）將圓C化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-4）²+y²=1．∴圓C的圓心為（4，0），半徑r=1．直線y=$\frac{1}{3}$x-2的一般方程為x-3y-6=0，
∴圓心到直線y=$\frac{1}{3}$x-2的距離d=$\frac{|4-6|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直線y=$\frac{1}{3}$x-2被圓截得的弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-x1etjbv^{2}}$=$\frac{2\sqrt{15}}{5}$．
（2）若直線y=kx-2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，
則圓C的圓心到直線y=kx-2的距離小于或等于2．直線y=kx-2的一般方程為kx-y-2=0，
∴$\frac{|4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤2．解得0≤k≤$\frac{4}{3}$．
∴k的最大值為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，圓的性質(zhì)得應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．