Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（$\frac{1}{{a}_{n}}$），n∈N^*．?dāng)?shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；（　　）

• A． a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$
• B． a_n=$\frac{2}{3}$n-$\frac{1}{3}$
• C． a_n=$\frac{1}{3}$n+$\frac{1}{3}$
• D． a_n=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由函數(shù)f（x）的解析式，化簡整理可得a_n+1=a_n+$\frac{2}{3}$，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得到所求．

解答 解：由函數(shù)f（x）=$\frac{2x+3}{3x}$，
可得a_n+1=$\frac{\frac{2}{{a}_{n}}+3}{\frac{3}{{a}_{n}}}$，即為a_n+1=a_n+$\frac{2}{3}$，
則數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公差為$\frac{2}{3}$的等差數(shù)列，
即有a_n=a₁+（n-1）d=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2n+1}{3}$．
故選A．

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．