Question

14．2015年10月，中國共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會第五次全體會議公報指出：堅持計劃生育的基本國策，完善人口發(fā)展戰(zhàn)略．全面實施一對夫婦可生育兩個孩子政策，積極開展應(yīng)對人口老齡化行動．為響應(yīng)黨中央號召，江南某化工廠以x千克/小時的速度勻速生產(chǎn)某種化纖產(chǎn)品，以提供生產(chǎn)嬰兒的尿不濕原材料，生產(chǎn)條件要求1≤x≤10，已知該化工廠每小時可獲得利潤是100（5x+1-$\frac{3}{x}$）元．
（1）要使生產(chǎn)該化纖產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元，求x的取值范圍：
（2）要使生產(chǎn)900千克該化纖產(chǎn)品獲得的利潤最大，問：該化工廠應(yīng)該選擇取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤．

Answer 1

分析 （1）求出生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤，建立不等式，即可求x的取值范圍；
（2）確定生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤函數(shù)，利用配方法，可求最大利潤．

解答 解：（1）生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤為100（5x+1-$\frac{3}{x}$）×2=200（5x+1-$\frac{3}{x}$），
根據(jù)題意，200（5x+1-$\frac{3}{x}$）≥3000，即5x²-14x-3≥0，
∴x≥3或x≤-$\frac{1}{5}$，
又∵1≤x≤10，
∴3≤x≤10；
（2）設(shè)利潤為y元，則生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤：
y=100（5x+1-$\frac{3}{x}$）×$\frac{900}{x}$
=90000（-$\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$+5）
=9×10⁴[-3$（\frac{1}{x}-\frac{1}{6}）^{2}$+$\frac{61}{12}$]，
∵1≤x≤10，
∴x=6時取得最大利潤9×10⁴×$\frac{61}{12}$=457500元，
故該廠應(yīng)以6千克/小時的速度生產(chǎn)，可獲得最大利潤為457500元．

點評 本題考查函數(shù)模型的建立，考查解不等式，考查函數(shù)的最值，確定函數(shù)的模型是關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．