Question

11．已知函數(shù)f（x）=3x²-6x-1．
（1）求不等式f（x）＞8的解集；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-4x²+mx-3，若任意x∈R，都有g(shù)（x）＜0，求m的取值范圍；
（3）若對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b+4在區(qū)間[1，3]的解集非空，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式f（x）＞8可化為：3x²-6x-9＞0，即x²-2x-3＞0，解得答案；
（2）若任意x∈R，都有g(shù)（x）＜0，則△=（m-6）²-16＜0，解得m的取值范圍；
（3）若對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b+4在區(qū)間[1，3]的解集非空，則不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在區(qū)間[1，3]的解集非空，構(gòu)造函數(shù)ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），求其最小值，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）不等式f（x）＞8可化為：3x²-6x-9＞0，
即x²-2x-3＞0，
解得：x＜-1或x＞3，
故原不等式的解集為：{x|x＜-1或x＞3}；
（2）g（x）=f（x）-4x²+mx-3=-x²+（m-6）x-4，
若任意x∈R，都有g(shù)（x）＜0，
則△=（m-6）²-16＜0，
解得：2＜m＜10； 
（3）若對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b+4在區(qū)間[1，3]的解集非空，
則對(duì)于任意的a∈[1，2]，關(guān)于x的不等式2x²+2ax-（a+b+5）≤0在區(qū)間[1，3]的解集非空，
令ϕ（x）=2x²+2ax-（a+b+5），則函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線$x=-\frac{a}{2}$，
由$-\frac{a}{2}∈[-1，-\frac{1}{2}]$得：ϕ_min（x）=ϕ（1）=a-b-3，
所以只要當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，a-b-3≤0恒成立即可
即當(dāng)a∈[1，2]時(shí)，b≥a-3恒成立，
所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．