Question

已知函數(shù)f（x）=1-ln（x+1），g（x）=ax²-x+1．
（1）求證：1-x≤f（x）≤

1

1+x

；
（2）當x≥0時，若f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：計算題,證明題,分類討論,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）令h（x）=f（x）-（1-x），求出導數(shù)，和單調區(qū)間，極值和最值，得到h（x）≥h（0）=0；
令m（x）=f（x）-

1

1+x

，求出導數(shù)、得到單調區(qū)間和極值、最值，得到m（x）≤m（0）=0，即可得證；
（2）令F（x）=g（x）-f（x）=ln（x+1）+ax²-x，求出導數(shù)，討論a≤0，a≥

1

2

，0＜a＜

1

2

，函數(shù)的單調性，并運用檢驗是否恒成立．

解答： （1）證明：令h（x）=f（x）-（1-x）=x-ln（x+1），則h′（x）=

x

x+1

，
當-1＜x＜0 時，h′（x）≤0，函數(shù)h（x）遞減，
當x＞0時，h′（x）＞0，函數(shù)h（x）遞增，故h（x）在x=0處取得最小值h（0）=0，
即對x＞-1，有h（x）≥h（0）=0，故f（x）≥1-x，
令m（x）=f（x）-

1

1+x

=

x

1+x

-ln(x+1)，則m′（x）=-

x

(1+x)2

，
當-1＜x≤0 時，m′（x）≥0，函數(shù)m（x）遞增，
當x＞0時，m′（x）＜0，函數(shù)m（x）遞減，故m（x）在x=0處取得最大值m（0）=0，
即對x＞-1，有m（x）≤m（0）=0，故f（x）≤

1

1+x

，
∴1-x≤f（x）≤

1

1+x

；                                              
（2）解：令F（x）=g（x）-f（x）=ln（x+1）+ax²-x，則F′（x）=

2ax2+(2a-1)x

1+x

，
①當a≤0時，2a-1＜0，當x≥0，∴x+1＞0，2ax+2a-1≤0，
∴F′（x）≤0，∴函數(shù)y=F（x），x≥0為減函數(shù)，
∴當x≥0時，F(xiàn)（x）≤F（0）=0，即a≤0時，f（x）≥g（x）成立；
②當0＜a＜

1

2

時，

1-2a

2a

＞0，取x=

1

a

＞0，∵F（

1

a

）=ln（1+

1

a

）＞0，
即g（

1

a

）＞f（

1

a

），與題意矛盾．
③當a≥

1

2

時，1-2a≤0，∴當x≥0時，∴x+1＞0，2ax+2a-1≥0，∴F′（x）≥0，
∴函數(shù)y=F（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，∴x＞0時，F(xiàn)（x）＞F（0）=0，
即g（x）＞f（x），與題意矛盾．
綜合①②③，當a∈（-∞，0）時，對x≥0，有f（x）≥g（x）．

點評：本題考查導數(shù)在函數(shù)中的運用：求單調區(qū)間、求極值和最值，同時考查不等式恒成立問題轉化為求最值問題，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．