Question

11．已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上最大值除以最小值為-2，求實(shí)數(shù)q的值；
（2）問是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且區(qū)間D的長度為12-t（此區(qū)間[a，b]的長度為b-a）

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的對稱軸，得到函數(shù)f（x）的單調(diào)性，求出其最大值和最小值，得到關(guān)于q的方程，解出即可；
（2）分t＜8，最大值是f（t）；t＜8，最大值是f（10）；8≤t＜10三種情況進(jìn)行討論，對于每一種情況，由區(qū)間長度是12-t求出t的值，驗(yàn)證范圍后即可得到答案．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3的對稱軸為x=8，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=f（-1）=20+q，f（x）_min=f（1）=-12+q，
由題意得：$\frac{20+q}{-12+q}$=-2，解得：q=$\frac{4}{3}$；
（2）當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{t＜8}\\{8-t≥10-8}\\{t≥0}\end{array}\right.$時，即0≤t≤6時，f（x）的值域?yàn)椋篬f（8），f（t）]，
即[q-61，t²-16t+q+3]．
∴t²-16t+q+3-（q-61）=t²-16t+64=12-t．
∴t²-15t+52=0，∴t=$\frac{15±\sqrt{17}}{2}$．
經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去．
當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{t＜8}\\{8-t≥10-8}\\{t≥0}\end{array}\right.$時，即6≤t＜8時，f（x）的值域?yàn)椋篬f（8），f（10）]，
即[q-61，q-57]．
∴q-57-（q-61）=4=12-t．
∴t=8
經(jīng)檢驗(yàn)t=8不合題意，舍去．
當(dāng)t≥8時，f（x）的值域?yàn)椋篬f（t），f（10）]，
即[t²-16t+q+3，q-57]
∴q-57-（t²-16t+q+3）=-t²+16t-60=12-t
∴t²-17t+72=0，∴t=8或t=9．
經(jīng)檢驗(yàn)t=8或t=9滿足題意，
所以存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，訓(xùn)練了利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最值，正確的分類是解答該題的關(guān)鍵，是中檔題．