【題目】已知函數(shù)f(x)＝－x3＋2ax2－3a2x(a∈R且a≠0)．

(1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(－2，f(－2))處的切線方程；

(2)當a＞0時，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)當x∈[2a，2a＋2]時，不等式|f′(x)|≤3a恒成立，求a的取值范圍．

【答案】（1）；（2）函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，3a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a)和(3a，＋∞)，極大值為0，極小值為－a3；（3）

【解析】

(1)當a＝－1時,f′(x)＝－x2－4x－3, f(－2)＝，f′(－2)＝1,點斜式寫出直線方程即可；（2）對函數(shù)求導，判斷導函數(shù)的正負得到單調(diào)區(qū)間和極值；（3）通過研究導函數(shù)的性質(zhì)得到f′(x)取得最大值a2，當x＝2a＋2時，f′(x)取得最小值a2－4，進而得到解得即可.

(1)∵當a＝－1時，f(x)＝－x3－2x2－3x，f′(x)＝－x2－4x－3，∴f(－2)＝－8＋6＝，f′(－2)＝－4＋8－3＝1，∴所求切線方程為y＝[x－(－2)]＋，即3x－3y＋8＝0.

(2)∵f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－a)(x－3a)．當a＞0時，由f′(x)＞0，得a＜x＜3a；由f′(x)＜0，得x＜a或x＞3a.∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，3a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，a)和(3a，＋∞)．∵f(3a)＝0，f(a)＝－a3，∴當a＞0時，函數(shù)y＝f(x)的極大值為0，極小值為－a3.

(3)f′(x)＝－x2＋4ax－3a2＝－(x－2a)2＋a2，∵在區(qū)間[2a，2a＋2]上f′(x)單調(diào)遞減，∴當x＝2a時，f′(x)取得最大值a2，當x＝2a＋2時，f′(x)取得最小值a2－4.

∵不等式|f′(x)|≤3a恒成立，∴解得1≤a≤3，故a的取值范圍是[1，3]．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n的展開式中x的系數(shù)恰好是數(shù)列{an}的前n項和Sn ．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）數(shù)列{bn}滿足 ，記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn ， 求證：Tn＜1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=3sinx﹣πx，命題p：x∈（0， ），f（x）＜0，則（ ）
A.p是假命題，￢p：?x∈（0， ），f（x）≥0
B.p是假命題，￢p：?x0∈（0， ），f（x0）≥0
C.p是真命題，￢p：?x∈（0， ），f（x）＞0
D.p是真命題，￢p：?x0∈（0， ），f（x0）≥0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公司經(jīng)營一批進價為每件400元的商品，在市場調(diào)查時發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x(元)與日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表所示：

x/元

500

600

700

800

900

y/件

10

8

9

6

1

(1)求y關(guān)于x的回歸直線方程．

(2)借助回歸直線方程，預測銷售單價為多少元時，日利潤最大？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝2處取得極值－14.

(1)求a，b的值；

(2)若f(x)≥kx在上恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax2﹣x+ ）的值域為R；命題q：3x﹣9x＜a對一切實數(shù)x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=sinx﹣xcosx．
（1）討論f（x）在（0，2π）上的單調(diào)性；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）﹣x2+2πx﹣m=0在（0，2π）有兩個根，求實數(shù)m的取值范圍．
（3）求證：當x∈（0， ）時，f（x）＜ x3 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系xOy中，D是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，E是滿足不等式組 的點（x，y）構(gòu)成的區(qū)域，向D中隨機投一點，則所投的點落在E中的概率是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某小學對一年級的甲、乙兩個班進行“數(shù)學學前教育”對“小學數(shù)學成績優(yōu)秀”影響的試驗，其中甲班為試驗班(實施了數(shù)學學前教育)，乙班為對比班(和甲班一樣進行常規(guī)教學，但沒有實施數(shù)學學前教育)，在期末測試后得到如下數(shù)據(jù)：

優(yōu)秀人數(shù)

非優(yōu)秀人數(shù)

總計

甲班

30

20

50

乙班

25

25

50

總計

55

45

100

能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為進行“數(shù)學學前教育”對“小學數(shù)學成績優(yōu)秀”有積極作用？

查看答案和解析>>

同步練習冊答案