Question

15．點(diǎn)A，B分別在射線l₁：y=2x（x≥0），l₂：y=-2x（x≥0）上運(yùn)動(dòng)，且S_△AOB=4．
（1）求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求證：中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠AOB=2θ，利用S_△AOB=4，可得x₁•x₂=2，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可證明．

解答 （1）解：設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∠AOB=2θ，…（1分）
由y=2x可得，tanθ=k=2，那么$sin2θ=\frac{2k}{{1+{k^2}}}=\frac{4}{5}$，…（3分）
又因?yàn)?|{OA}|=\sqrt{5}{x_1}$，$|{OB}|=\sqrt{5}{x_2}$
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OB}|•sin2θ=4$，化簡(jiǎn)得x₁•x₂=2，…①式…（5分）
因?yàn)镸（x，y）是A（x₁，y₁）與B（x₂，y₂）的中點(diǎn)，
所以x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，且y₁=2x₁，y₂=-2x₂，聯(lián)立可得$4{x_1}•{x_2}=4{x^2}-{y^2}$，
并代入①式，得4x²-y²=8，…（7分）
所以中點(diǎn)M的軌跡方程是4x²-y²=8，x＞0…（8分）
（2）證明：設(shè)中點(diǎn)M到射線OA、OB的距離分別為d₁、d₂，
則$\left\{\begin{array}{l}{d_1}=\frac{{|{2x-y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}\\{d_2}=\frac{{|{2x+y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}\end{array}\right.$，…（10分）
那么${d_1}•{d_2}=\frac{{|{2x-y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}•\frac{{|{2x+y}|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{{|{4{x^2}-{y^2}}|}}{5}=\frac{8}{5}$
所以中點(diǎn)M到兩射線的距離積為定值          …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．