Question

10．已知函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x，若數(shù)列{a_n}滿足a₁=1．a(chǎn)_n+1=f（a_n）．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）猜想a_n與3的大小關(guān)系，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析 （1）依次代入f（x）計算；
（2）先驗證n=1時成立，假設(shè)n=k時猜想成立，利用二次函數(shù)的單調(diào)性推導(dǎo)n=k+1時猜想成立．

解答 解：（1）a₂=f（1）=-$\frac{1}{3}$+2=$\frac{5}{3}$，
a₃=f（$\frac{5}{3}$）=-$\frac{1}{3}×\frac{25}{9}$+2×$\frac{5}{3}$=$\frac{65}{27}$．
（2）猜想：a_n＜3．
證明：當(dāng)n=1時，顯然a₁=1＜3，猜想成立．
假設(shè)n=k時，猜想成立，即a_k＜3，
∵f（x）=-$\frac{1}{3}$x²+2x的對稱軸為x=3，開口向下，
∴f（x）在（-∞，3）上是增函數(shù)．
則a_k+1=f（a_k）＜f（3）=3，
∴n=k+1時，猜想成立．
綜上，a_n＜3．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題．