Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）=sinxcosx將 f（x）的圖象向右平移$\frac{φ}{2}$（0＜φ＜π） 個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）圖象且g（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平移變換規(guī)律可求g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ），由sin（2×$\frac{π}{8}$-φ）=±1，可求$\frac{π}{4}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，結(jié)合范圍0＜φ＜π，即可得解φ的值．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數(shù)y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的單調(diào)增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ）
∵x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)y=g（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸．
∴sin（2×$\frac{π}{8}$-φ）=±1，$\frac{π}{4}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{3π}{4}$．…（4分）
（2）由（1）知φ=$\frac{3π}{4}$，因此y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）．
由題意得2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴函數(shù)y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．…（8分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，求φ的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．