Question

12．設函數f（x）=sinxcosx將 f（x）的圖象向右平移$\frac{φ}{2}$（0＜φ＜π） 個單位，得到y=g（x）圖象且g（x）的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$．
（1）求φ；
（2）求函數y=g（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平移變換規(guī)律可求g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ），由sin（2×$\frac{π}{8}$-φ）=±1，可求$\frac{π}{4}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，結合范圍0＜φ＜π，即可得解φ的值．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函數y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的單調增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x，g（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-φ）
∵x=$\frac{π}{8}$是函數y=g（x）圖象的對稱軸．
∴sin（2×$\frac{π}{8}$-φ）=±1，$\frac{π}{4}$-φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∵0＜φ＜π，∴φ=$\frac{3π}{4}$．…（4分）
（2）由（1）知φ=$\frac{3π}{4}$，因此y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）．
由題意得2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
∴函數y=sin（2x-$\frac{3π}{4}$）的單調增區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．…（8分）

點評 本題主要考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數的圖象和性質，考查了三角函數恒等變換的應用，求φ的值是解題的關鍵，屬于基礎題．