10.已知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a4=S3,a9=a3+a4
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若akak+1=ak+2,求正整數(shù)k的值;
(3)是否存在正整數(shù)k,使得$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$恰好為數(shù)列{an}的一項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的正整數(shù)k;若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)設(shè){an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q,運(yùn)用通項(xiàng)公式,解方程可得d=2,q=3,即可得到所求通項(xiàng)公式;
(2)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),運(yùn)用通項(xiàng)公式,解方程可得k的值;
(3)求得S2k,S2k-1,若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$為數(shù)列{an}中的一項(xiàng),整理化簡(jiǎn)求得k,m的值,再由數(shù)學(xué)歸納法證明,即可得到結(jié)論.

解答 解:(1)設(shè){an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為d,
偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的等比數(shù)列的公比為q,
則${a_{2n-1}}=1+(n-1)d,\;\;{a_{2n}}=2{q^{n-1}}$.
由已知,得$\left\{\begin{array}{l}2q=(2+d)+2\\ 1+4d=(1+d)+2q\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}d=2\\ q=3.\end{array}\right.$
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:${a_n}=\left\{\begin{array}{l}n,(當(dāng)n為奇數(shù))\\ 2•{3^{\frac{n-2}{2}}},(當(dāng)n為偶數(shù))\end{array}\right.$.
(2)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),由akak+1=ak+2
得 $k•2•{3^{\frac{k-1}{2}}}=k+2\;⇒{3^{\frac{k-1}{2}}}=\frac{k+2}{2k}$.
由于${3^{\frac{k-1}{2}}}∈{N^*},而\frac{k+2}{2k}僅在k=2時(shí)為正整數(shù),與k為奇數(shù)矛盾!$
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),由akak+1=ak+2,
得 $2•{3^{\frac{k-2}{2}}}•(k+1)=2•{3^{\frac{k}{2}}}\;⇒k=2$.
綜上,得k=2.
(3)由(1)可求得${S_{2k}}=[{1+3+…+(2k-1)}]+2(1+3+{3^2}+…+{3^{k-1}})={3^k}+{k^2}-1$,${S_{2k-1}}={S_{2k}}-{a_{2k}}={3^{k-1}}+{k^2}-1$.
若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$為數(shù)列{an}中的一項(xiàng),
則$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=m(m為正奇數(shù)),或\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}(m為正偶數(shù))$.
( i)若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=m(m為正奇數(shù))$,
則$\frac{{{3^k}+{k^2}-1}}{{{3^{k-1}}+{k^2}-1}}=m⇒(3-m){3^{k-1}}=(m-1)({k^2}-1)$.
當(dāng)k=1時(shí),m=3,結(jié)論成立;
當(dāng)k≠1時(shí),$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=\frac{m-1}{3-m}$,由$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}>0,得\frac{m-1}{3-m}>0,解得1<m<3$,
由于m為正奇數(shù),故此時(shí)滿足條件的正整數(shù)k不存在.
( ii)若$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}(m為正偶數(shù))$,顯然k≠1,
$\frac{{{3^k}+{k^2}-1}}{{{3^{k-1}}+{k^2}-1}}=2•{3^{\frac{m-2}{2}}}⇒(3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}){3^{k-1}}=({k^2}-1)(2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1)⇒\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=\frac{{2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1}}{{3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}}}$.
由k>1得$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}>0,得\frac{{2•{3^{\frac{m-2}{2}}}-1}}{{3-2•{3^{\frac{m-2}{2}}}}}>0⇒1<2•{3^{\frac{m-2}{2}}}<3$.$由m為正偶數(shù),得2•{3^{\frac{m-2}{2}}}為正偶數(shù)$,
因此$2•{3^{\frac{m-2}{2}}}=2$,從而$\frac{{{3^{k-1}}}}{{{k^2}-1}}=1⇒{3^{k-1}}={k^2}-1$.
當(dāng)k=2時(shí),3k-1=k2-1;
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)k≥3時(shí),3k-1>k2-1.
①當(dāng)k=3時(shí),顯然3k-1>k2-1;
②假設(shè)當(dāng)k=l≥3時(shí),有3l-1>l2-1;
當(dāng)k=l+1時(shí),由l≥3得3(l2-1)-[(l+1)2-1]=(l-1)2+(l2-4)>0,
故3(l+1)-1=3•3l-1>3(l2-1)>(l+1)2-1,
即當(dāng)k=l+1時(shí),結(jié)論成立.
由①,②知:當(dāng)k≥3時(shí),3k-1>k2-1.
綜合( i),( ii)得:存在兩個(gè)正整數(shù)k,k=1或2,使$\frac{{{S_{2k}}}}{{{S_{2k-1}}}}$為數(shù)列{an}中的項(xiàng).

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用,注意運(yùn)用分類討論的思想方法和數(shù)學(xué)歸納法的證明,考查推理和運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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②對(duì)于任意給定的點(diǎn)F,存在點(diǎn)E,使得AF⊥A1E;
③對(duì)于任意給定的點(diǎn)G,存在點(diǎn)F,使得AF⊥B1G;
④對(duì)于任意給定的點(diǎn)F,存在點(diǎn)G,使得AF⊥B1G.
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