Question

12．如圖，已知ABCD是底角為60°的等腰梯形，其中AB∥CD，AD=4，DC=6，$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{EC}$，$\overrightarrow{CF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的值為$\frac{28}{3}$．

Answer 1

分析 由題意求出AB，然后利用共線向量基本定理把$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$用梯形四邊所在向量表示，展開后代入數量積公式得答案．

解答 解：如圖，∵ABCD是底角為60°的等腰梯形，AB∥CD，AD=4，DC=6，
∴可求得AB=2．
又$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=-\overrightarrow{DA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=$（-\overrightarrow{DA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}）•（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）$
=$-\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{BC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{BC}$
=$-4×2×cos60°-\frac{1}{3}×4×4×cos120°$$+\frac{2}{3}×6×2×cos0°+\frac{2}{9}×6×4×cos60°$
=$-4+\frac{8}{3}+\frac{24}{3}+\frac{8}{3}=\frac{28}{3}$．
故答案為：$\frac{28}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了向量的加法與減法的三角形法則，是中檔題．