Question

10．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2ⁿ-（-1）ⁿ，n∈N^*．設(shè)a_n1，a_n2，…，a_nt（其中n₁＜n₂＜…＜n_t，t∈N^*）成等差數(shù)列．
（1）若t=3．
①當(dāng)n₁，n₂，n₃為連續(xù)正整數(shù)時(shí)，求n₁的值；
②當(dāng)n₁=1時(shí)，求證：n₃-n₂為定值；
（2）求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）t=3，①依題意，${a}_{{n}_{1}}$，${a}_{{n}_{1}+1}$，${a}_{{n}_{1}+2}$成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列等差中項(xiàng)及通項(xiàng)公式，分類(lèi)討論當(dāng)n₁為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，分別求得n₁的值；
②a₁，a_n2，a_n3成等差數(shù)列，根據(jù)等差中項(xiàng)可知：$2[{{2^{n_2}}-{{（-1）}^{n_2}}}]=3+{2^{n_3}}-{（-1）^{n_3}}$，分別當(dāng)n₂，n₃為奇數(shù)或偶數(shù)時(shí)，即可求得n₃-n₂=1，因此n₃-n₂為定值；
（2）設(shè)a_s，a_r，a_t（s＜r＜t）成等差數(shù)列，根據(jù)數(shù)列等差中項(xiàng)定義，2^s+2^t-2^r+1=（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r，分類(lèi)討論t=r+1，求得s的值，當(dāng)t≥r+2，求得s的值，最后求得a₁，a_r，a_r+1成等差數(shù)列或a₂，a_r，a_r+1成等差數(shù)列，其中r為奇數(shù)，即可求得t的最大值．

解答 解：（1）①依題意，${a}_{{n}_{1}}$，${a}_{{n}_{1}+1}$，${a}_{{n}_{1}+2}$成等差數(shù)列，即2${a}_{{n}_{1}+1}$=${a}_{{n}_{1}}$+${a}_{{n}_{1}+2}$，
從而$2[{{2^{{n_1}+1}}-{{（-1）}^{{n_1}+1}}}]={2^{n_1}}-{（-1）^{n_1}}+{2^{{n_1}+2}}-{（-1）^{{n_1}+2}}$，
當(dāng)n₁為奇數(shù)時(shí)，解得${2^{n_1}}=-4$，不存在這樣的正整數(shù)n₁；
當(dāng)n₁為偶數(shù)時(shí)，解得${2^{n_1}}=4$，所以n₁=2．（3分）
②依題意，a₁，a_n2，a_n3成等差數(shù)列，即2a_n2=a₁+a_n3，
從而$2[{{2^{n_2}}-{{（-1）}^{n_2}}}]=3+{2^{n_3}}-{（-1）^{n_3}}$，
當(dāng)n₂，n₃均為奇數(shù)時(shí)，${2^{n_2}}-{2^{{n_3}-1}}=1$，左邊為偶數(shù)，故矛盾；
當(dāng)n₂，n₃均為偶數(shù)時(shí)，${2^{{n_2}-1}}-{2^{{n_3}-2}}=1$，左邊為偶數(shù)，故矛盾；
當(dāng)n₂為偶數(shù)，n₃奇數(shù)時(shí)，${2^{{n_2}+1}}-{2^{n_3}}=5$，左邊為偶數(shù)，故矛盾；
當(dāng)n₂為奇數(shù)，n₃偶數(shù)時(shí)，${2^{{n_2}+1}}-{2^{n_3}}=0$，即n₃-n₂=1．（8分）
（2）設(shè)a_s，a_r，a_t（s＜r＜t）成等差數(shù)列，則2a_r=a_s+a_t，
即2[2^r-（-1）^r]=2^s-（-1）^s+2^t-（-1）^t，
整理得，2^s+2^t-2^r+1=（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r，
若t=r+1，則2^s=（-1）^s+-3（-1）^r，因?yàn)?^s≥2，所以（-1）^s+-3（-1）^r只能為2或4，
所以s只能為1或2；（12分）
若t≥r+2，則2^s+2^t-2^r+1≥2^s+2^r+2-2^r+1≥2+2⁴-2³=10，（-1）^s+（-1）^t-2（-1）^r≤4，
故矛盾，
綜上，只能a₁，a_r，a_r+1成等差數(shù)列或a₂，a_r，a_r+1成等差數(shù)列，其中r為奇數(shù)，
從而t的最大值為3．（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差中項(xiàng)的定義，考查分類(lèi)討論思想，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．