Question

6．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓M的方程為ρ²-6ρsinθ=-8．
（1）求圓M的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l截圓M所得弦長為$\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)極坐標(biāo)方程和普通方程的關(guān)系即可轉(zhuǎn)化為普通方程．
（2）根據(jù)直線和圓相交的位置關(guān)系結(jié)合弦長公式結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由ρ²-6ρsinθ=-8．得x²+y²-6y=-8，
即x²+（y-3）²=1，
則圓M的直角坐標(biāo)方程為x²+（y-3）²=1．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-4t+a}\\{y=3t-1}\end{array}\right.$消去t得普通方程得3x+4y-3a+4=0，
∵直線l截圓M所得弦長為$\sqrt{3}$，
∴圓心（0，3）到直線l的距離d=$\frac{|16-3a|}{5}$=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，
得a=$\frac{9}{2}$或a=$\frac{37}{6}$．

點(diǎn)評 本題主要考查極坐標(biāo)和普通方程的關(guān)系的應(yīng)用以及直線和圓相交的弦長公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算和轉(zhuǎn)化能力．