Question

5．若${（{x^2}-\frac{1}{ax}）^9}$的展開(kāi)式中x⁹的系數(shù)為$-\frac{21}{2}$，則函數(shù)f（x）=sinx與直線x=a，x=-a及x軸圍成的封閉圖形的面積為（　�。�

• A． 2-2cos2
• B． 4-2cos1
• C． 0
• D． 2+2cos2

Answer 1

分析 首先利用${（{x^2}-\frac{1}{ax}）^9}$的展開(kāi)式中x³的系數(shù)為$-\frac{21}{2}$，求出a，然后由定積分求面積．

解答 解：因?yàn)?{（{x^2}-\frac{1}{ax}）^9}$的展開(kāi)式中x⁹的系數(shù)為$-\frac{21}{2}$，展開(kāi)式的通項(xiàng)為${C}_{9}^{r}（{x}^{2}）^{9-r}（-\frac{1}{ax}）^{r}$=${C}_{9}^{r}{（-\frac{1}{a}）^{r}x}^{18-3r}$，令18-3r=9得到r=3，所以${C}_{9}^{3}（-\frac{1}{{a}^{\;}}）^{3}=-\frac{21}{2}$，解得a=2，
所以函數(shù)f（x）=sinx與直線x=2，x=-2及x軸圍成的封閉圖形如圖

面積為：${2∫}_{0}^{2}sinxdx$=2（-cosx）|${\;}_{0}^{2}$=2-2cos2；
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的特征項(xiàng)系數(shù)、定積分求封閉圖形的面積；關(guān)鍵是求出a、利用定積分表示面積．