Question

11．有下列命題：
①△ABC中，若$\frac{cosA}{cosB}=\frac{a}$，則△ABC一定是等腰三角形
②二次函數(shù)y=ax²+bx+c為偶函數(shù)的充要條件是b=0
③$b=\sqrt{ac}是a，b，c成等比的$必要不充分條件
④$y=sinx+\frac{1}{sinx}（{0＜x＜\frac{π}{2}}）$的最小值是2．
⑤a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c．
其中正確命題的序號(hào)是①②⑤．
（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）．

Answer 1

分析 ①利用正弦定理進(jìn)行判斷．
②利用偶函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．
③根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
④根據(jù)基本不等式成立的條件進(jìn)行判斷，
⑤根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答 解：①△ABC中，若$\frac{cosA}{cosB}=\frac{a}$，則$\frac{cosA}{cosB}=\frac{sinA}{sinB}$，即tanA=tanB，則A=B，即則△ABC一定是等腰三角形，故①正確，
②二次函數(shù)y=ax²+bx+c為偶函數(shù)的充要條件是b=0，正確，故②正確，
③若a=b=c，則滿足b=$\sqrt{ac}$，但a，b，c不是等比數(shù)列，反之，若當(dāng)a=-1，b=-1，c=-1滿足a，b，c成等比數(shù)列，但b=$\sqrt{ac}$不成立，
則$b=\sqrt{ac}是a，b，c成等比的$既不充分也不必要條件，故③錯(cuò)誤，
④∵0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，0＜sinx＜1，則y=sinx+$\frac{1}{sinx}$≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=$\frac{1}{sinx}$，即sinx=1，取得號(hào)，但sinx≠1，故$y=sinx+\frac{1}{sinx}（{0＜x＜\frac{π}{2}}）$的最小值是2錯(cuò)誤．
故④錯(cuò)誤，
⑤a，b，c成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c．正確，故⑤正確，
故答案為：①②⑤

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，但難度不大．