Question

1．已知直線l：y=kx-2，圓C：x²+y²-8x+4y-16=0．
（Ⅰ）若k=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，請判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）當(dāng)|k|≥1時(shí)，直線l能否將圓C分割成弧長的比值為$\frac{1}{3}$的兩段圓�。繛槭裁�？

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，求出圓心C（4，-2）到直線l的距離，與半徑的關(guān)系，即可判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（Ⅱ）判斷$\frac{{\sqrt{2}}}{3}r≤d＜\frac{2}{3}r$．若直線l能將圓C分割成弧長的比值為$\frac{1}{3}$的兩段圓弧，則圓心C到直線l的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）圓C的圓心為C（4，-2），半徑r=6．                        （2分）
若$k=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，直線l：$4x-2\sqrt{3}y-4\sqrt{3}=0$，
即$2x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$，
則圓心C（4，-2）到直線l的距離$d=\frac{{|{8+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{8\sqrt{7}}}{7}＜6$，
所以直線l與圓C相交．                                  （4分）
（Ⅱ） 不能．
直線l的方程為y=kx-2，其中|k|≥1．
圓心C到直線l的距離$d=\frac{{|{4k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{4}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$．                 （6分）
由|k|≥1得$2\sqrt{2}≤d＜4$，又r=6即$\frac{{\sqrt{2}}}{3}r≤d＜\frac{2}{3}r$．            （8分）
若直線l能將圓C分割成弧長的比值為$\frac{1}{3}$的兩段圓弧，
則圓心C到直線l的距離$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，（10分）
因?yàn)?\frac{{\sqrt{2}}}{2}r＞\frac{2}{3}r$，
所以直線l不能將圓C分割成弧長的比值為$\frac{1}{3}$的兩段弧．            （12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓及不等式知識的綜合應(yīng)用，考查了直線與圓相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是點(diǎn)到直線距離公式的靈活應(yīng)用．