Question

6．已知函數(shù)f（x）=aln（1+x）+x²-10x在點(diǎn)（2，f（2））的切線與直線3x-2y-1=0垂直．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，從而得到f′（2）=-$\frac{2}{3}$，解出即可；
（2）由（1）確定函數(shù)f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得單調(diào)區(qū)間；
（3）由（2）得到函數(shù)的極值點(diǎn)，求得極小值和極大值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=aln（1+x）+x²-10x在點(diǎn)（2，f（2））的切線與直線3x-2y-1=0垂直，
∴f（x）=aln（1+x）+x²-10x在點(diǎn)（2，f（2））的切線斜率為：k=$-\frac{2}{3}$…（1分）
又∵$f'（x）=\frac{a}{1+x}+2x-10$…（2分）
∴$f'（2）=\frac{a}{3}+4-10=-\frac{2}{3}$，解得a=16，
（2）由（1）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
$f'（x）=\frac{{2（{{x^2}-4x+3}）}}{1+x}=\frac{{2（{x-1}）（{x-3}）}}{1+x}$，
當(dāng)x∈（-1，1）∪（3，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
當(dāng)x∈（1，3）時(shí)，f′（x）＜0
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，3）
（3）由（2）知，f（x）的極大值為f（1）=16ln2-9，極小值為f（3）=32ln2-21．
且當(dāng)x從右側(cè)無限接近于-1時(shí)，f（x）趨于-∞，當(dāng)x無限大時(shí)，f（x）趨于+∞，
∴若直線y=b與函數(shù)y=f（x）的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍是（32ln2-21，16ln2-9）．

點(diǎn)評(píng) 此題重點(diǎn)考查利用求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，函數(shù)根的問題；，熟悉函數(shù)的求導(dǎo)公式，理解求導(dǎo)在函數(shù)最值中的研究方法是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合理解函數(shù)的取值范圍．