Question

9．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，點F為C₁D₁的中點，點E在CC₁上，且CE=1．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角F-A₁D-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明AE⊥平面A₁BD．
（Ⅱ）求出平面A₁DF的法向量和平面A₁BD的法向量，利用向量法能求出二面角F-A₁D-B的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4，
點F為C₁D₁的中點，點E在CC₁上，且CE=1，
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
A（2，0，0），E（0，2，1），A₁（2，0，4），B（2，2，0），D（0，0，0），
$\overrightarrow{AE}$=（-2，2，1），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{DB}$=0，
∴AE⊥DA₁，AE⊥DB，
又DA₁∩DB=D，∴AE⊥平面A₁BD．
解：（Ⅱ）F（0，1，4），$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，4），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，4），$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），
設平面A₁DF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+4y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=y+4z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（8，-4，1），
設平面A₁BD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2a+4c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a+2b=0}\end{array}\right.$，取c=1，得$\overrightarrow{m}$=（-2，2，1），
設二面角F-A₁D-B的平面角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{23}{\sqrt{81}•\sqrt{9}}$=$\frac{23}{27}$．
∴二面角F-A₁D-B的余弦值為$\frac{23}{27}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．