Question

10．如圖，AB是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，焦距為2的橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右頂點(diǎn)，直線l的方程為x=9，M是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線AM交l于點(diǎn)P．
（1）求橢圓方程；
（2）以MP為直徑的圓與直線MB交于點(diǎn)Q，試證明：直線PQ與x軸的交點(diǎn)R為定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=3，c=1，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)M（x₀，y₀），R（t，0），求得直線AM的方程，求得P的坐標(biāo)，由圓的性質(zhì)可得MQ⊥PQ，運(yùn)用直線垂直的條件：斜率之積為-1，求得直線PQ的方程，令y=0，可得交點(diǎn)R的坐標(biāo)，即可得證．

解答 解：（1）解：由題意可得，a=3，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$2\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$；     
（2）證明：由（1）知，A（-3，0），B（3，0），
設(shè)M（x₀，y₀），R（t，0），
則直線AM的方程為$y=\frac{y_0}{{{x_0}+3}}（x+3）$，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為$（9，\frac{{12{y_0}}}{{{x_0}+3}}）$，
由題意，MQ⊥PQ，∴k_MQk_PQ=-1，
∴直線PQ的方程為$y=-\frac{{{x_0}-3}}{y_0}（x-9）+\frac{{12{y_0}}}{{{x_0}+3}}$，
令y=0結(jié)合$\frac{x_0^2}{9}+\frac{y_0^2}{8}=1$，得x=$-\frac{5}{3}$，
所以直線PQ與x軸的交點(diǎn)R為定點(diǎn)（-$\frac{5}{3}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直徑所對(duì)圓的圓周角為直角，以及兩直線垂直的條件，以及直線方程的運(yùn)用，屬于中檔題．