Question

20．已知過點(diǎn)A（1，0）且斜率為k的直線l與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1交于M，N兩點(diǎn)．
（I）求k的取值范圍：
（Ⅱ）$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用點(diǎn)斜式求得直線l的方程，根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得滿足條件的k的范圍．
（Ⅱ）由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=k（x-1），聯(lián)立直線方程和圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出M，N橫縱坐標(biāo)的積，結(jié)合$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12求出直線的斜率，得到直線方程，再由直線過圓心直接得答案．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)過點(diǎn)A（1，0）的直線方程：y=k（x-1），即：kx-y-k=0．
由已知可得圓C的圓心C的坐標(biāo)（2，3），半徑R=1．
故由$\frac{|2k-3-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得：k=$\frac{4}{3}$．
故當(dāng)k＞$\frac{4}{3}$時(shí)，過點(diǎn)A（1，0）的直線與圓C：（x-2）²+（y-3）²=1相交于M，N兩點(diǎn)；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁）；N（x₂，y₂），
由題意可得，經(jīng)過點(diǎn)M、N、A的直線方程為y=k（x-1），代入圓C的方程（x-2）²+（y-3）²=1，
可得（1+k²）x²-2（k²+3k+2）x+k²+6k+12=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+3k+2）}{1+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{{k}^{2}+6k+12}{1+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]
=${k}^{2}[\frac{{k}^{2}+6k+12}{1+{k}^{2}}-\frac{2{k}^{2}+6k+4}{1+{k}^{2}}+1]$=$\frac{9{k}^{2}}{1+{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=12，
得x₁•x₂+y₁•y₂=$\frac{10{k}^{2}+6k+12}{1+{k}^{2}}=12$，解得：k=0（舍）或k=3，
故直線l的方程為 y=3x-3．
∵圓心C在直線l上，MN長(zhǎng)即為圓的直徑，
∴|MN|=2．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，以及直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是中檔題．