Question

2．已知二次函數(shù)f（x）的最小值為-4，f（0）=f（2）=-3，且y=|f（x）|在區(qū)間[3a，a+1]上單調(diào)，則a的取值范圍是$（-∞，-2]∪[-\frac{1}{3}，0]∪[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 先求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得到關(guān)于a的不等式組，解出a的范圍即可．

解答 解：∵f（0）=f（2），∴對稱軸x=1，
又∴二次函數(shù)f（x）的最小值為-4，
∴設(shè)函數(shù)f（x）=m（x-1）²-4，由f（0）=-3，
得：m=1，
∴f（x）=（x-1）²-4，
畫出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，如圖示：
，
若y=|f（x）|在區(qū)間[3a，a+1]上單調(diào)，
則$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{a+1≤-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{3a≥-1}\\{a+1≤1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{3a≥1}\\{a+1≤3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3a＜a+1}\\{3a≥3}\\{a+1＞3}\end{array}\right.$，
解得：a∈$（-∞，-2]∪[-\frac{1}{3}，0]∪[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$說明：端點-2，-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$可開可閉，
故答案為：$（-∞，-2]∪[-\frac{1}{3}，0]∪[\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．