Question

3．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=1-a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}+1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)于任意的n∈N^*，2n-$\frac{1}{4}＜{T_n}$≤2n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{n}+1}$-$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{n+1}-1}$=2+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$．先證明右邊：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2+$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}$=2，成立；當(dāng)n≥2時(shí)，2ⁿ⁺¹-1＞2ⁿ+1，可得$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜0，即可證明T_n≤2n．再證明左邊：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2，成立；當(dāng)n≥2時(shí)，利用$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{{2}^{n}}$，即可證明．

解答 （1）解：∵S_n=1-a_n（n∈N^*），∴a₁=1-a₁，解得a₁=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=1-a_n-1，可得a_n=a_n-1-a_n，化為${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，∴${a}_{n}=（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）證明：b_n=$\frac{1}{{{a_n}+1}}-\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}$=$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{n}+1}$-$\frac{1}{（\frac{1}{2}）^{n+1}-1}$=$\frac{{2}^{n}}{{2}^{n}+1}$+$\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}-1}$=2+$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
先證明右邊：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2+$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}$=2，成立；當(dāng)n≥2時(shí)，2ⁿ⁺¹-1＞2ⁿ+1，∴$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＜0，∴T_n≤2n．
證明左邊：當(dāng)n=1時(shí)，b₁=2+$\frac{1}{3}-\frac{1}{3}$=2，成立；當(dāng)n≥2時(shí)，∵$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$＞$\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n＞2n+$（\frac{1}{{2}^{3}}-\frac{1}{{2}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{4}}-\frac{1}{{2}^{3}}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{{2}^{n}}）$=2n+$（\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{4}）$＞2n-$\frac{1}{4}$，
綜上可得：對(duì)于任意的n∈N^*，2n-$\frac{1}{4}＜{T_n}$≤2n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、不等式的性質(zhì)、“放縮法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．