Question

15．若0＜x≤$\frac{π}{3}$，則函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域?yàn)椋?，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 利用換元法令sinx+cosx=t，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式為t的函數(shù)，結(jié)合x的范圍，求出t的范圍，然后求出函數(shù)的最值．

解答 解：令sinx+cosx=t，則sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
∴y=sinxcosx+sinx+cosx=t+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$t²+t-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（t+1）²-1．
∵x∈（0，$\frac{π}{3}$]，t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]．
∴y_max=$\frac{1}{2}$+$\sqrt{2}$，
x=0時(shí)，y=1．
函數(shù)y=sinx+cosx+sinxcosx的值域?yàn)椋海?，$\frac{1}{2}+\sqrt{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，換元法的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．