Question

5．（1）求證：$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＞1+$\sqrt{13}$；
（2）已知x，y∈R⁺，且x+y＞1，求證：$\frac{1+x}{y}$與$\frac{1+y}{x}$中至少有一個(gè)小于3．

Answer 1

分析 （1）兩邊平方，使用分析法逐步找出使不等式成立的條件；
（2）結(jié)論中結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，而其否定結(jié)構(gòu)簡單，故可用反證法證明其否定不成立，以此來證明結(jié)論成立．

解答 證明：（1）（分析法）要證明$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＞1+$\sqrt{13}$，
只要證（$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$）²＞（1+$\sqrt{13}$）²，
即證$\sqrt{35}$＞2+$\sqrt{13}$，
即證35＞17+4$\sqrt{13}$，
即證9＞2$\sqrt{13}$，
即證81＞52，
顯然81＞52恒成立，
∴求證：$\sqrt{5}$+$\sqrt{7}$＞1+$\sqrt{13}$；
（2）（反證法）：假設(shè)$\frac{1+x}{y}與\frac{1+y}{x}$均不小于2，即$\frac{1+x}{y}$≥2，$\frac{1+y}{x}$≥2，
∴1+x≥2y，1+y≥2x．將兩式相加得：x+y≤2，與已知x+y＞2矛盾，
故$\frac{1+x}{y}與\frac{1+y}{x}$中至少有一個(gè)小于2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的證明方法，根據(jù)式子特點(diǎn)合理選擇證明方法，屬于中檔題．