Question

4．已知函數(shù)f（x）=-4x³+x²+4x-1，g（x）=ax-a，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的極大值、極小值；
（2）若在（-∞，1）內(nèi)存在唯一的整數(shù)m，使得f（m）＜g（m）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求出a的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=-12{x^2}+2x+4=-12（{x+\frac{1}{2}}）（{x-\frac{2}{3}}）$，…（1分）
令f′（x）=0，得$x=-\frac{1}{2}$或$x=\frac{2}{3}$，…（2分）
在$x=-\frac{1}{2}$附近，當$x＞-\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0；當$x＜-\frac{1}{2}$時，f'（x）＜0，
∴$x=-\frac{1}{2}$是函數(shù)f（x）的極小值點，極小值為$f（{-\frac{1}{2}}）=-\frac{9}{4}$…（4分）
在$x=\frac{2}{3}$附近，當$x＞\frac{2}{3}$時，f'（x）＜0；當$x＜\frac{2}{3}$時，f'（x）＞0，
∴$x=\frac{2}{3}$是函數(shù)f（x）的極大值點，極大值為$f（{\frac{2}{3}}）=\frac{25}{27}$…（6分）
（2）令f′（x）＞0，得$-\frac{1}{2}＜x＜\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{-\frac{1}{2}，\;\frac{2}{3}}）$…（7分）
令f′（x）＜0，得$x＜-\frac{1}{2}$或$x＞\frac{2}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$（{-∞，\;-\frac{1}{2}，}）$，$（{\frac{2}{3}，\;+∞}）$…（8分）

∴根據(jù)（1）的結(jié)論，函數(shù)f（x）的圖象大致如下：…（10分
∵函數(shù)g（x）=a（x-1）的圖象恒經(jīng)過點A（1，0），
f（x）的圖象經(jīng)過點B（0，-1），C（-1，0）
∴直線AB的斜率為1，AC的斜率為0，
∵a是經(jīng)過點A（1，0）的直線的斜率，
∴可得所求a的取值范圍是0≤a＜1，
此時唯一的整數(shù)為0．…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道綜合題．