Question

17．已知雙曲線M：x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過點(diǎn)F₁與雙曲線的一條漸近線平行的直線與另一條漸近線交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P在以原點(diǎn)為圓心，雙曲線M的虛軸長為半徑的圓內(nèi)，則b²的取值范圍是（　　）

• A． （7+4$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （7-4$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$）
• D． （0，7-4$\sqrt{3}$）∪（7+4$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線漸近線的方程求出交點(diǎn)P的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)與圓的關(guān)系建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：過F₁（-c，0）且與漸近線y=bx平行的直線為y=b（x+c），
與另外一條漸近線y=-bx聯(lián)立得$\left\{\begin{array}{l}{y=b（x+c）}\\{y=-bx}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{c}{2}}\\{y=\frac{bc}{2}}\end{array}\right.$，即P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2}$），
以原點(diǎn)為圓心，雙曲線M的虛軸長為半徑的圓的方程為x²+y²=4b²，
∴（-$\frac{c}{2}$）²+（$\frac{bc}{2}$）²＜4b²，即c²+b²c²＜16b²，
把c²=b²+1代入并整理得b⁴-14b²+1＜0，
得7-4$\sqrt{3}$＜b²＜7+4$\sqrt{3}$，
即b²的取值范圍是（7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$），
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線的方程和性質(zhì)，根據(jù)漸近線方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．