Question

7．已知拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F，A是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，則雙曲線的離心率是$\sqrt{2}$+1．

Answer 1

分析 求出拋物線與雙曲線的焦點坐標，將其代入雙曲線方程求出A的坐標，將A代入拋物線方程求出雙曲線的三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，則雙曲線的漸近線的斜率可求，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線的焦點坐標為（$\frac{p}{2}$，0）；雙曲線的焦點坐標為（c，0），
∵拋物線y²=2px（p＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）有相同的焦點F，
∴p=2c，
∵點A 是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，
將x=c代入雙曲線方程得到A（c，$\frac{^{2}}{a}$），
將A的坐標代入拋物線方程得到$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$=2pc，即4a⁴+4a²b²-b⁴=0．
解得$\frac{a}$=$\sqrt{2+2\sqrt{2}}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=2+2$\sqrt{2}$，解得：e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$+1．
故答案為：$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查由圓錐曲線的方程求焦點坐標、考查雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系及由雙曲線方程求雙曲線的離心率，是中檔題．