Question

11．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\frac{{（n+2）a_n^2-n{a_n}+n+1}}{a_n^2+1}$（n∈N₊），且a₁=1．
（1）求a₂，a₃，a₄，猜測a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；
（2）若n≥4，試比較3^a_n與（n-1）•2ⁿ+2n²的大小，并給出證明過程．

Answer 1

分析 （1）代入遞推式計算a₂，a₃，a₄，根據(jù)計算結(jié)果猜想通項公式；
（2）根據(jù)特殊值比較大小，利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答 解：（1）a₂=$\frac{3×{1}^{2}-1+1+1}{2}$=2，
a₃=$\frac{4×{2}^{2}-2×2+2+1}{5}$=3，
a₄=$\frac{5×{3}^{2}-3×3+3+1}{10}$=4，
猜想：a_n=n．
證明：當(dāng)n=1時，a₁=1成立
假設(shè)n=k（k≥1）時，a_k=k成立
則當(dāng)n=k+1時，${a_{k+1}}=\frac{{（k+2）a_k^2-k{a_k}+k+1}}{{{a_k}^2+1}}=\frac{{（k+2）{k^2}-k•k+k+1}}{{{k^2}+1}}=k+1$也成立
所以，${a_n}=n（n∈{N^*}）$成立．
（2）猜想：當(dāng)n≥4時，3${\;}^{{a}_{n}}$＞（n-1）•2ⁿ+2n²，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
n=4時，左邊=3${\;}^{{a}_{4}}$=3⁴=81，右邊=3•2⁴+2•4²=80，左邊＞右邊，故結(jié)論成立；
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥4）時結(jié)論成立，即3^k＞（k-1）•2^k+2k²，
兩邊同乘以3得：3^k+1＞3（k-1）•2^k+6k²=k•2^k+1+2（k+1）²+[（k-3）2^k+4k²-4k-2]，
∵k≥4時，（k-3）2^k＞0，4k²-4k-2=（2k-1）²-3≥46＞0，
∴（k-3）2^k+4k²-4k-2＞0，
∴3^k+1＞k•2^k+1+2（k+1）²，
即n=k+1時結(jié)論也成立．
∴當(dāng)n≥4時，3ⁿ＞（n-1）•2ⁿ+2n²成立．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法的證明，掌握證明步驟，根據(jù)式子特點(diǎn)由n=k轉(zhuǎn)化推導(dǎo)n=k+1是證明的關(guān)鍵．