Question

6．已知數(shù)列{a_n} 滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n∈N⁺）
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$}成等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n∈N⁺），變形為${a}_{n+1}+\frac{1}{{2}^{n+1}}$-（a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=1，即可證明；
（Ⅱ）由（1）可得：${a}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，即a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$+n，利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）證明：由a_n+1=a_n+1+$\frac{1}{{2}^{n+1}}$（n∈N⁺），
可得：${a}_{n+1}+\frac{1}{{2}^{n+1}}$-（a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$）=1，
∴數(shù)列{a_n+$\frac{1}{{2}^{n}}$}成等差數(shù)列，首項與公差都為1．
（Ⅱ）解：由（1）可得：${a}_{n}+\frac{1}{{2}^{n}}$=1+（n-1）=n，
∴a_n=-$\frac{1}{{2}^{n}}$+n，
∴數(shù)列{a_n}的前n項的和S_n=-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{1}{{2}^{n}}$-1+$\frac{n（n+1）}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．