Question

1．f（x）=3x²-6x-5，
（1）設(shè)g（x）=f（x）-2x²+mx，其中m∈R，求g（x）在[1，3]上的最大值．
（2）若對(duì)任意的a∈[-1，2]存在x∈[1，3]，使不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分析g（x）的圖象和性質(zhì)，分析對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系，可得g（x）在[1，3]上的最大值．
（2）若對(duì)任意的a∈[-1，2]存在x∈[1，3]，使不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b成立，則對(duì)任意的a∈[-1，2]，函數(shù)y=2x²+2ax-5-a-b最大值不大于0，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=3x²-6x-5，
∴g（x）=f（x）-2x²+mx=x²+（m-6）x-5，
∵g（x）的圖象是開(kāi)口朝上，且以x=3-$\frac{m}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
故當(dāng)3-$\frac{m}{2}$≥2，即m≤2時(shí)，g（x）在[1，3]上的最大值為g（3）=3m-14；
當(dāng)3-$\frac{m}{2}$＜2，即m＞2時(shí)，g（x）在[1，3]上的最大值為g（1）=m-10；
（2）對(duì)任意的a∈[-1，2]，存在x∈[1，3]，使不等式f（x）≤x²-（2a+6）x+a+b成立，
即2x²+2ax-5-a-b≤0成立，
故對(duì)任意的a∈[-1，2]，函數(shù)y=2x²+2ax-5-a-b最大值不大于0，
由函數(shù)y=2x²+2ax-5-a-b的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=-$\frac{a}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，-$\frac{a}{2}$∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
故函數(shù)y=2x²+2ax-5-a-b在[1，3]上為增函數(shù)，
當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)取最大值5a-b+13，
故5a-b+13≤0，
即b≥5a+13，a∈[-1，2]
故b≥23

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．