Question

10．求經(jīng)過圓x²+y²=58與直線6x+8y-3=0的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的圓的方程：
（1）面積最小的圓；
（2）圓被直線x+y-1=0截得的弦長為3$\sqrt{22}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)圓的方程為x²+y²+λ（6x+8y-3）-58=0，圓心為（-3λ，-4λ），確定圓的半徑，利用配方法，即可求出面積最小的圓；
（2）利用圓被直線x+y-1=0截得的弦長為3$\sqrt{22}$，根據(jù)勾股定理，建立方程，即可得出結(jié)論．．

解答 解：（1）設(shè)圓的方程為x²+y²+λ（6x+8y-3）-58=0，圓心為（-3λ，-4λ），
半徑為$\sqrt{25{λ}^{2}+3λ+58}$=$\sqrt{25（λ+\frac{3}{50}）^{2}+58-\frac{9}{100}}$，
∴λ=-$\frac{3}{50}$時，圓的面積最小，圓的方程為x²+y²-$\frac{9}{25}$x-$\frac{12}{25}$y-$\frac{2891}{50}$=0；
（2）圓心為（-3λ，-4λ），到直線x+y-1=0的距離d=$\frac{|-7λ-1|}{\sqrt{2}}$，
∵圓被直線x+y-1=0截得的弦長為3$\sqrt{22}$．
∴（$\sqrt{25{λ}^{2}+3λ+58}$）²=（$\frac{3\sqrt{22}}{2}$）²+（$\frac{|-7λ-1|}{\sqrt{2}}$）²，
∴λ=18±9$\sqrt{3}$，
∴圓的方程為x²+y²+（108-54$\sqrt{3}$）x+（44-72$\sqrt{3}$）y+27$\sqrt{3}$-122=0或x²+y²+（108+54$\sqrt{3}$）x+（44+72$\sqrt{3}$）y-27$\sqrt{3}$-122=0．

點(diǎn)評 本題考查圓的方程，考查圓系方程的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．