Question

3．已知圓C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+3cosθ}\\{y=3sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l過點（-1，-3），且傾斜角的余弦值為$\frac{4}{5}$．
（1）求圓C的普通方程，若以原點為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，寫出圓C的極坐標方程；
（2）寫出直線l的參數(shù)方程，判斷直線l與圓C的位置關系，并說明理由，若相交，請求出弦長．

Answer 1

分析 （1）先求出圓的普通方程，再轉化為極坐標方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的普通方程得到關于參數(shù)t的一元二次方程，根據(jù)方程根的個數(shù)判斷位置關系，根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出弦長．

解答 解：（1）圓C的普通方程為（x-3）²+y²=9．
圓C的一般方程為x²+y²-6x=0，
∴圓C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ=0，即ρ=6cosθ．
（2）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{4}{5}t}\\{y=-3+\frac{3}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
將直線l的參數(shù)方程代入圓C的普通方程得：t²-10t+16=0．
△=100-64=32＞0，
∴方程t²-10t+16=0有兩解．
∴直線l與圓C相交．
設t²-10t+16=0的解為t₁，t₂．則t₁+t₂=10，t₁t₂=16．
∴直線l與圓C相交所得弦長為$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=6．

點評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標方程與普通方程的轉化，直線與圓的位置關系，屬于中檔題．