Question

16．過(guò)點(diǎn)P（1，2）作直線l與x軸的正半軸和y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，求：
（1）△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程；
（2）求|PA|•|PB|的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），可得$\frac{1}{a}+\frac{2}$=1，利用基本不等式算出ab≥8，可得當(dāng)且僅當(dāng)a=2且b=4時(shí)，△AOB的面積S有最小值為4，進(jìn)而算出此時(shí)的直線l方程；
（2）求出|PA|，|PB|，利用二倍角的正弦公式算出|PA|•|PB|，由正弦函數(shù)的值域可得直線斜率為-1，利用點(diǎn)斜式方程列式，化簡(jiǎn)可得直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的方程為$\frac{x}{a}+\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
∵點(diǎn)P（1，2）在直線上，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}$=1，
由基本不等式1=$\frac{1}{a}+\frac{2}$≥2$\sqrt{\frac{2}{ab}}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=2且b=4時(shí)，等號(hào)成立，
∴ab≥8，可得△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$ab≥4，
因此△AOB的面積S的最小值為4，
此時(shí)的直線方程為$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}$=1，即2x+y-4=0；
（2）設(shè)直線的傾斜角為θ，則|PA|=$\frac{2}{sin（π-θ）}$=$\frac{2}{sinθ}$，|PB|=$\frac{1}{cos（π-θ）}$=-$\frac{1}{cosθ}$，
∴|PA|•|PB|=-$\frac{4}{sin2θ}$
當(dāng)2θ=$\frac{3}{2}$π，即θ=$\frac{3}{4}π$時(shí)，|PA|•|PB|取最小值4，
此時(shí)，直線的斜率為-1，
直線l的方程為y-2=-1（x-1），化為一般式可得x+y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 本題給出直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，求滿足特殊條件的直線方程，著重考查了直線的基本量與基本形式、三角形面積的計(jì)算和基本不等式求最值等知識(shí)，屬于中檔題．