12.在△ABC中,已知$\sqrt{3}$tanAtanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$.
(1)求∠C的大;
(2)設(shè)角A,B,C的對(duì)邊依次為a,b,c,若c=2,且△ABC是銳角三角形,求a2+b2的取值范圍.

分析 (1)由已知中$\sqrt{3}$tanAtanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$,變形可得$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\sqrt{3}$,由兩角和的正切公式,我們易得到A+B的值,進(jìn)而求出∠C的大。
(2)由c=2,且△ABC是銳角三角形,再由正弦定理,我們可以將a2+b2轉(zhuǎn)化為一個(gè)只含A的三角函數(shù)式,根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì),我們易求出a2+b2的取值范圍.

解答 解:(1)依題意:$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=-\sqrt{3}$,即$tan(A+B)=-\sqrt{3}$.
又0<A+B<π,∴$A+B=\frac{2π}{3}$,
∴$C=π-A-B=\frac{π}{3}$;
(2)由三角形是銳角三角形可得$A<\frac{π}{2}$,$B<\frac{π}{2}$即$\frac{π}{6}<A<\frac{π}{2}$.
由正弦定理得$a=\frac{c}{sinC}×sinA=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinA,b=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sinB=\frac{4}{{\sqrt{3}}}sin(\frac{2π}{3}-A)$,
∴${a^2}+{b^2}=\frac{16}{3}[{sin^2}A+{sin^2}(\frac{2π}{3}-A)]=\frac{16}{3}[\frac{1-cos2A}{2}+\frac{{1-cos(\frac{4π}{3}-2A)}}{2}]$
=$\frac{16}{3}-\frac{8}{3}[cos2A+cos(\frac{4π}{3}-2A)]=\frac{16}{3}-\frac{8}{3}[cos2A-\frac{1}{2}cos2A-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A]$
=$\frac{16}{3}-\frac{8}{3}(\frac{1}{2}cos2A-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2A)=\frac{16}{3}+\frac{8}{3}sin(2A-\frac{π}{6})$.
∵$\frac{π}{6}<A<\frac{π}{2}$,
∴$\frac{π}{6}<2A-\frac{π}{6}<\frac{5π}{6}$,
∴$\frac{1}{2}<sin(2A-\frac{π}{6})≤1$,從而$\frac{20}{3}<{a^2}+{b^2}≤8$.
則a2+b2的取值范圍為:($\frac{20}{3}$,8].

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是解三角形及兩角和與差的正切函數(shù),熟練掌握兩角和(差)的正弦、余弦、正切函數(shù)式及其變形,是解答本題的關(guān)鍵,是中檔題.

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 時(shí)刻 0:003:00  6:009:00  12:0015:00  18:0021:00  24:00
 水深(m)5.0  7.05.0  3.05.0  7.05.0  3.05.0 
若該港口的水深y(m)和時(shí)刻t(0≤t≤24)的關(guān)系可用函數(shù)y=Asin(ωt)+h(其中A>0,ω>0,h>0)來(lái)近似描述,則該港口在11:00的水深為(  )
A.4mB.5mC.6mD.7m

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7.sin(-$\frac{4}{3}$π)+$\sqrt{3}$cos$\frac{2}{3}$π-tan$\frac{25}{4}$π的值為( 。
A.$-\sqrt{3}+1$B.$-\sqrt{3}-1$C.$\sqrt{3}$D.-1

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17.若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,b)(a>0,b>0)共線,則2a+3b的取值范圍為$[{10+4\sqrt{6},+∞})$.

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