Question

7．己知函數(shù)f（x）=ax+b，當(dāng)x∈[a₁，b₁]時(shí)，值域?yàn)閇a₂，b₂]；當(dāng)x∈[a₂，b₂]時(shí)，值域?yàn)閇a₃，b₃]，…，當(dāng)x∈[a _n-1，b _n-1]時(shí)，值域?yàn)閇a_n，b_n]，其中a，b為常數(shù)，a₁=0，b₁=1．
（1）若a=1，求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a＞0且a≠1，要使數(shù)列{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列，求b的值；
（3）若a＞0，設(shè)數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項(xiàng)和分別為S_n和T_n，求T_n-S_n的值．

Answer 1

分析 （1）a=1，f（x）=x+b．a(chǎn)_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=b_n-1+b，（n≥2），利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）a＞0且a≠1，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，可得b₂=a+b，b₃=a²+ab+b，利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：（a+b）²=1×（a²+ab+b），化為：ab+b²=b．b=0或b=1-a．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可判斷出結(jié)論．
（3）a＞0時(shí)，f（x）=ax+b的單調(diào)遞增函數(shù)．a(chǎn)_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=ab_n-1+b，（n≥2），可得：a_n-b_n=a（a_n-1-b_n-1），對(duì)a分類(lèi)討論，再利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）a=1，f（x）=x+b．a(chǎn)_n=f（a_n-1）=a_n-1+b，b_n=b_n-1+b，（n≥2），因此數(shù)列{a_n}、{b_n}都是等差數(shù)列，公差為b．
∵a₁=0，b₁=1．∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b=bn+1-b．
（2）a＞0且a≠1，b_n=f（b_n-1）=ab_n-1+b，b₂=a+b，b₃=ab₂+b=a（a+b）+b=a²+ab+b，
∵數(shù)列{b_n}是公比不為1的等比數(shù)列，∴（a+b）²=1×（a²+ab+b），化為：ab+b²=b．
∴b=0或b=1-a．
當(dāng)b=0時(shí)，b_n=a^n-1，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為a．
b=1-a（a＞0且a≠1）時(shí)，b₁=b₂=1，舍去．
（3）a＞0時(shí)，f（x）=ax+b的單調(diào)遞增函數(shù)．
a_n=f（a_n-1）=aa_n-1+b，b_n=ab_n-1+b，（n≥2），
a_n-b_n=a（a_n-1-b_n-1），
∴數(shù)列{a_n-b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁-b₁=-1，公比為a．
a=1時(shí)，T_n-S_n=-n．
a＞0且a≠1時(shí)，T_n-S_n=$\frac{-（1-{a}^{n}）}{1-a}$．
∴T_n-S_n=-$\left\{\begin{array}{l}{-n，a=1}\\{\frac{{a}^{n}-1}{1-a}，a＞0，a≠1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、分類(lèi)討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．