Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，滿足a_n=3a_n-1+2，a₁=2．
（1）證明{a_n+1}為等比數(shù)列．
（2）求a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）把已知遞推式兩邊加1，可得a_n+1=3（a_n-1+1）（n≥2），結(jié)合首項(xiàng)不為0可得a_n+1}為等比數(shù)列；
（2）求出（1）中的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可得a_n的通項(xiàng)公式．

解答 （1）證明：由a_n=3a_n-1+2，得
a_n+1=3（a_n-1+1）（n≥2），
∵a₁=2，∴a₁+1≠0，
則$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}=2（n≥2）$，
故{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列；
（2）解：∵{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
則${a}_{n}={3}^{n}-1$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．