Question

15．已知函數(shù)f（x）=2x-1（x∈R），規(guī)定：給定一個實數(shù)x₀，第一次賦值x₁=f（x₀），若x₁≤257，則繼續(xù)第二次賦值x₂=f（x₁），若x₂≤257，則繼續(xù)第三次賦值x₃=f（x₂），…，以此類推，若x_n-1≤257，則x_n=f（x_n-1），否則停止賦值，已知第8次賦值后該過程停止，則x₀的取值范圍是（2，3]．

Answer 1

分析 由題意，可先解出x₁，x₂，x₃，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，猜想出x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀-$\frac{1-{2}^{k}}{1-2}$=2^kx₀-2^k+1，再由題設條件x_n-1≤257，則x_n=f（x_n-1），否則停止賦值，可得到2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，解此二不等式即可得到x₀的取值范圍，進而令k=8即可得到答案．

解答 解：由題意x₁=f（x₀）=2x₀-1；
x₂=f（x₁）=2x₁-1=2（2x₀-1）-1=2²x₀-2-1；
x₃=f（x₂）=2x₂-1=2（2²x₀-2-1）-1=2³x₀-2²-2-1；
…，
x_k=f（x_k-1）=2x_k-1-1=2^kx₀-2^k-1-…-2²-2-1=2^kx₀-$\frac{1-{2}^{k}}{1-2}$=2^kx₀-2^k+1；
令2^kx₀-2^k+1＞257，且2^k-1x₀-2^k-1+1≤257，
解得2^8-k+1＜x₀≤2^9-k+1，
則當k=8時，2＜x₀≤3，
即x₀的取值范圍是（2，3]．
故答案為：（2，3]．

點評 本題考查歸納推理，等比數(shù)列的求和公式，解題的特點是先列舉幾個特殊例子找出規(guī)律，從而利用規(guī)律得出結(jié)論，解答本題，理解賦值終止的條件是關(guān)鍵，屬于中檔題．