Question

16．已知函數(shù)f（x）=x²-2x|x-a|（|a|≤1）
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）設(shè)f（x）在x∈[-1，1]上的最大值為M（a），最小值為m（a），若M（a）-m（a）≤4，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-2x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2x，x＜1\\-{x}^{2}+2x，x≥1\end{array}\right.$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）函數(shù)f（x）=x²-2x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2ax，x＜a\\-{x}^{2}+2ax，x≥a\end{array}\right.$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分類討論滿足M（a）-m（a）≤4的a的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x²-2x|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2x，x＜1\\-{x}^{2}+2x，x≥1\end{array}\right.$，
∵y=3x²-2x的圖象是開口朝上且以x=$\frac{1}{3}$為對稱軸的拋物線，
∴當(dāng)x＜1時，函數(shù)f（x）在[$\frac{1}{3}$，1）為遞增；
y=-x²+2x的圖象是開口朝下且以x=1為對稱軸的拋物線，
∴當(dāng)x≥1時，函數(shù)f（x）為減函數(shù)，
綜上所述：a=1時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{1}{3}$，1）；
（2）函數(shù)f（x）=x²-2x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}3{x}^{2}-2ax，x＜a\\-{x}^{2}+2ax，x≥a\end{array}\right.$，
當(dāng)-1≤a≤0時，
當(dāng)x＜a時，y=3x²-2ax的圖象是開口朝上且以x=$\frac{1}{3}$a≥a為對稱軸的拋物線，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x≥a時，y=-x²+2ax的圖象是開口朝下且以x=a為對稱軸的拋物線，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
故f（x）在x∈[-1，1]上的最大值為M（a）=f（-1）=3+2a，最小值為m（a）=f（1）=-1+2a，
此時M（a）-m（a）=4≤4恒成立，
當(dāng)a＞0時，
當(dāng)x＜a時，y=3x²-2ax的圖象是開口朝上且以x=$\frac{1}{3}$a＜a為對稱軸的拋物線，函數(shù)f（x）在[-1，$\frac{1}{3}$a]上為減函數(shù)，在[$\frac{1}{3}$a，a]為增函數(shù)；
當(dāng)x≥a時，y=-x²+2ax的圖象是開口朝下且以x=a為對稱軸的拋物線，函數(shù)f（x）為減函數(shù)；
由f（$\frac{1}{3}$a）=$-\frac{1}{3}$a²，f（1）=-1+2a，
若0＜a≤2$\sqrt{3}$-3，f（1）≤f（$\frac{1}{3}$a），
故f（x）在x∈[-1，1]上的最大值為M（a）=f（-1）=3+2a，最小值為m（a）=f（1）=-1+2a，
此時M（a）-m（a）=4≤4恒成立，
若2$\sqrt{3}$-3＜a≤1，f（1）＞f（$\frac{1}{3}$a），
故f（x）在x∈[-1，1]上的最大值為M（a）=f（-1）=3+2a，最小值為m（a）=f（$\frac{1}{3}$a）=$-\frac{1}{3}$a²，
此時M（a）-m（a）≤4無解，
綜上所述，-1≤a≤2$\sqrt{3}$-3

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．