Question

15．如圖1，矩形APCD中，AD=2AP，B為PC的中點(diǎn)，將△APB折沿AB折起，使得PD=PC，如圖2．
（1）若E為PD中點(diǎn)，證明：CE∥平面APB；
（2）證明：平面APB⊥平面ABCD．

Answer 1

分析 （1）取PA中點(diǎn)F，連接EF，BF，由已知條件推導(dǎo)出EFBC為平行四邊形，由此能證明CE∥平面APB．
（2）取CD中點(diǎn)G，AB中點(diǎn)H，連接PG，HG，PH，由已知條件推導(dǎo)出PG⊥CD，PH⊥AB，BC⊥CD，從而HG⊥CD，由線面垂直得CD⊥PH．由此能證明PH⊥平面ABCD．

解答 證明：（1）取PA中點(diǎn)F，連接EF，BF，
因?yàn)镋為PD中點(diǎn)，所以EF平行且等于$\frac{1}{2}$AD，
因?yàn)锽CEF平行且等于$\frac{1}{2}$AD，
所以EFEF平行且等于BC，所以EFBC為平行四邊形，
所以BF∥CE，…（4分）
因?yàn)锽F?平面APB，CE不包含于平面APB，
所以CE∥平面APB．…（6分）
（2）取CD中點(diǎn)G，AB中點(diǎn)H，連接PG，HG，PH，
∵PC=PD，CD中點(diǎn)G，∴PG⊥CD，
∵△APB是等腰三角形，H是AB中點(diǎn)，
∴PH⊥AB，HG∥AD．∵BC∥AD，BC⊥CD，∴HG⊥CD，…（10分）
HG∩PG=G，HG?平面PHG，PG?平面PHG，
∴CD⊥平面PHG．PH?平面PHG，∴CD⊥PH．
∵AB?平面ABCD，CD?平面ABCD，AB和CD相交，
∴PH⊥平面ABCD．
又PH?平面APB，
∴平面APB⊥平面ABCD． …（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．